圖2-1  質量守恒的微元體

將質量守恒定律應用到高溫流體流動中（如圖2-1）所示，即得連續性方程：

在(zai)不穩定(ding)流(liu)(liu)(liu)動時，流(liu)(liu)(liu)入的(de)(de)流(liu)(liu)(liu)體質量(liang)(liang)與流(liu)(liu)(liu)出(chu)的(de)(de)流(liu)(liu)(liu)體質量(liang)(liang)之差(cha)應等(deng)于封閉(bi)空間中流(liu)(liu)(liu)體質量(liang)(liang)的(de)(de)變化(hua)；而在(zai)穩定(ding)流(liu)(liu)(liu)動時則流(liu)(liu)(liu)入流(liu)(liu)(liu)體質量(liang)(liang)必(bi)然等(deng)于流(liu)(liu)(liu)出(chu)的(de)(de)流(liu)(liu)(liu)體質量(liang)(liang)，其數學表(biao)達(da)式即為(wei)連續性方程。在(zai)直角坐標系中

不穩定流動時

（2-1）

穩(wen)定流(liu)動時(shi)，則

對于不可壓縮流體，ρ=const，則連續性方程為

用ρu的散度divpu或 pu表示上式左邊的三項之和則，

div u=▽·u=0

在柱坐標(biao)系中

不穩定流(liu)動(dong)時

（2-2）

穩定流動時

（2-2a）

對于不可壓縮流體，ρ=const，則連續性方程為

（2-2b）

直角坐標(biao)和柱坐標(biao)之(zhi)間的換(huan)算(suan)公式如(ru)下：

（2-3）

連續性方程表(biao)示了(le)流(liu)體運動時(shi)，其速(su)度與密度之間的關系。

二、能量方程

根據能量守恒定律、加到流體中的熱能q和壓力所作的功之和，等于流體對外所作的機械功W、克服摩擦所消耗的功Wf以(yi)及動能，位能（gZ2-gZ1）和內能增量cu（T2-T1）之和。能量方程的數學表達式則為

（2-4）

其(qi)微(wei)分(fen)形式為

（2-4a）

式中，而

兩者之和為（i2-i1）

三、粘性流體(ti)運動方程

根據牛頓第二定律，考慮到流體的粘性剪切力即可得不可壓縮粘性流體運動微分方程式，該式又稱為納維—斯托克斯方程，簡稱N-S方程，這是流體動力學基本方程之一，在直角坐標系中表示為（見圖2-2）。

（2-5）

方程組(zu)中左邊(bian)*項為單位質量力(li)(li)；左邊(bian)第二項為壓力(li)(li)，第三項為摩擦力(li)(li)，合稱為表(biao)面力(li)(li)；右邊(bian)為慣性力(li)(li)。

在柱(zhu)坐(zuo)標(biao)系中(zhong)則表示(shi)為

（2-）

圖2-2  粘性流體運動分析

式中一直角坐標(biao)拉普拉斯算子

一(yi)柱坐標用拉普拉斯(si)算子；

一歐拉系(xi)數。

對于可壓縮流體，考慮氣體的可壓縮性、N-S方程具有下列形式：對于直角坐標為

（2-6）

對(dui)于柱坐標系則表示(shi)為：

（2-6a）

N-S方程是粘性流體zui一般性的方程。加上連續性方程共有四個方程式，當邊界條件和初始條件確定后，原則上可求解不可壓縮粘性流體運動問題中的四個未知數ux、uy、uz和p。許多層流問題，如園管層流、平行平面間層流、同心園環間層流都可以用N-S方程求出解，而且流體潤滑問題也可用N-S方程求近似解。